Методика преподавания отдельных тем, входящих в курс компьютерного моделирования

Рассмотрим свободное падение с учетом сопротивления среды. Математическая модель движения — это уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело — силы тяжести и силы сопротивления среды, движение является одномерным; проецируя векторное уравнение на ось, направленную вертикально вниз, получаем:

При выводе уравнения целесообразно изобразить на рисунке силы, действующие на тело; это будет способствовать наилучшему восприятию полученного уравнения и не вызовет дополнительных вопросов.

Вопрос, который следует обсуждать на первом этапе, таков: каков характер зависимости скорости от времени, если все параметры, входящие в последнее уравнение, заданы? При такой постановке модель носит сугубо дескриптивный характер.

На этом этапе возникает вопрос о способах решения дифференциальных уравнений. Очевидный ответ: универсальные методы их решения — численные, для начала вполне достаточно ограничиться методом Эйлера. Проводим следующее рассуждение: если на основании определения производной заменить ее в уравнении (2) конечно-разностным отношением то, зная скорость в начальный момент времени t=0 и обозначив ее как v1 в момент , перепишем уравнение в виде

Если далее понимать под v1 приближенное значение скорости в момент , то получим формулу для вычисления v1:

Это и есть формула метода Эйлера.

Далее рассуждение ведется по индукции. Располагая значением v1 можно, отталкиваясь от него, найти v2 и т.д. Общая формула метода Эйлера применительно к данной задаче такова:

Возникает следующая проблема: до каких пор проводить расчеты? В данной задаче естественным представляется ответ: до падения тела на землю, для обнаружения этого события необходимо рассчитывать не только скорость, но и пройденный путь. Поскольку перемещение связано со скоростью соотношением , то, проводя схожие с приведенными выше рассуждения, приходим ко второму разностному уравнению , решаемому одновременно с первым. Иначе говоря, мы применили метод к системе дифференциальных уравнений. Решая эту систему при заданных начальных условиях v(0) = vo, s(0) - so, получим таблицу значений функций v(t), s(t).

Важные, тесно связанные между собой методическая и содержательная проблемы — это контроль точности и выбор шага времени . Казалось бы, чем меньше шаг, тем точнее решение но, во-первых, это утверждение не является вполне верным (причины обсудим ниже), а во-вторых, при очень мелком шаге расчетов «результатов» слишком много и они становятся необозримыми. Отсюда возникает еще одна методическая проблема: как выбрать шаг повремени для вывода значений перемещения и скорости на экран. Этот шаг выбирается из соображений разумной достаточности информации и обозримости представления результатов на экране; из практических соображений удобно, если он кратен (реально шаг вывода может составлять десятки и сотни ). Кроме того, ставится задача: представить полученные результаты в наиболее удобном для восприятия виде. Это могут быта графики зависимостей v(t), s(t), изображение процесса падениям динамике (здесь возможны вариации).

Прочее о педагогике:

Тестирование как объективная форма контроля письменной речи на базовом уровне обучения французскому языку как второму иностранному языку в средней общеобразовательной школе
Итак, контроль и оценка уровня владения иностранным языком являются важнейшим компонентом учебного процесса. Основная задача контроля — объективное определение уровня владения обучаемыми иноязычным материалом на каждом этапе становления их речевых навыков и умений, при этом объектом контроля являет ...

Нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений
Приближенное нахождение значений иррациональных чисел, нахождение решения алгебраических и трансцендентных уравнений – это задача теории чисел. При решении этой задачи необходимо оценивать точность приближения, в результате развивается аппарат, связанный с погрешностью. Умение оперировать с приближ ...

Телекоммуникационные учебные проекты
У граждан мира, живущих в конце XX века, не должно вызывать удивления то, что Internet служит средой для гуманитарных, кросскультурных телекоммуникационных проектов, ориентированных на деятельность, в которых участвуют будущие руководители планеты – наши дети. Так, проект Planet использует консорци ...