История развития понятия площади и ее измерения

При вычислении площади треугольника по правилу, указанному в книге «О земном верстании, как земля верстать», произведение большей и меньшей сторон треугольника делили на два, что, естественно, дает лишь приближенное значение истинной площади.

В Древней Руси при вычислении площадей допускали еще одну грубейшую ошибку, полагая, что «фигуры с равными периметрами имеют равные площади». Это предположение неверно ни для одной фигуры, даже если они имеют равные стороны. Например, при равенстве сторон квадрата сторонам ромба площадь квадрата больше площади ромба, так как высота ромба короче его стороны. Докажем это.

Пусть сторона квадрата и сторона ромба равны а.

В а С

а а

y

а А Е D

Площадь квадрата

Sкв.=а2

а площадь ромба

Sромба=аh

Из прямоугольного треугольника

АВЕ h=ВЕ=а sin А

Отсюда

Sромба=а.аsinА=а2sinА

Таким образом, правила, верные для конкретных фигур, неприменимы в более общих случаях.

2 1 см

3 см 3 см 2 1 см

Возьмем квадрат и равносторонний треугольник с равными периметрами (рис. 12). Для сравнения вычислим площадь равностороннего треугольника с периметром 9 см по формуле

S=1 2 а2sin α, получим

S=1 2 .32.sin60о=9 2.3 2≈9.1,7 ≈3,8=4(см2).

Сторона квадрата с периметром тоже 9 см равна 21 4см, а площадь

S=(2 1 4)2=(9 4)2=81 16≈5(cм2).

Как видите, площади не равны. Следовательно, нельзя делать вывод о равенстве площадей фигур с равными периметрами.

На ошибках учатся – гласит народная мудрость. Многократно ошибаясь и исправляя собственные ошибки, человек достиг современной высокой культуры вычислений.

Прочее о педагогике:

Влияние использования метода учебных проектов на качества образования учащихся
Опыт работы над технологией методики проекта в течение нескольких лет позволяет провести анализ и дать ответ на вопрос: "Как данная технология влияет на обучение иностранному языку". Естественно, меня, как учителя русского и иностранного языка, интересует тот факт, как технология влияет н ...

Двигательно-координационные способности и основы их воспитания
В современных условиях значительно увеличился объем деятельности, осуществляемой в вероятностных и неожиданно возникающих ситуациях, которая требует проявления находчивости, быстроты реакции, способности к концентрации и переключению внимания, пространственной, временной, динамической точности движ ...

Эпоха, культура, человек – предмет педагогического исследования
Обновление российского образования проходит под знаком гуманизации. Естественно, что содержание образования нуждается в соответствующем корректировании. Оно осуществляется различными путями – увеличением объема гуманитарных знаний, включением в планы профессиональных колледжей программ новых дисцип ...