История развития понятия площади и ее измерения

При вычислении площади треугольника по правилу, указанному в книге «О земном верстании, как земля верстать», произведение большей и меньшей сторон треугольника делили на два, что, естественно, дает лишь приближенное значение истинной площади.

В Древней Руси при вычислении площадей допускали еще одну грубейшую ошибку, полагая, что «фигуры с равными периметрами имеют равные площади». Это предположение неверно ни для одной фигуры, даже если они имеют равные стороны. Например, при равенстве сторон квадрата сторонам ромба площадь квадрата больше площади ромба, так как высота ромба короче его стороны. Докажем это.

Пусть сторона квадрата и сторона ромба равны а.

В а С

а а

y

а А Е D

Площадь квадрата

Sкв.=а2

а площадь ромба

Sромба=аh

Из прямоугольного треугольника

АВЕ h=ВЕ=а sin А

Отсюда

Sромба=а.аsinА=а2sinА

Таким образом, правила, верные для конкретных фигур, неприменимы в более общих случаях.

2 1 см

3 см 3 см 2 1 см

Возьмем квадрат и равносторонний треугольник с равными периметрами (рис. 12). Для сравнения вычислим площадь равностороннего треугольника с периметром 9 см по формуле

S=1 2 а2sin α, получим

S=1 2 .32.sin60о=9 2.3 2≈9.1,7 ≈3,8=4(см2).

Сторона квадрата с периметром тоже 9 см равна 21 4см, а площадь

S=(2 1 4)2=(9 4)2=81 16≈5(cм2).

Как видите, площади не равны. Следовательно, нельзя делать вывод о равенстве площадей фигур с равными периметрами.

На ошибках учатся – гласит народная мудрость. Многократно ошибаясь и исправляя собственные ошибки, человек достиг современной высокой культуры вычислений.

Прочее о педагогике:

Психолого-педагогическое обоснование исследуемой проблемы
Слово – инструмент познания мира. Именно поэтому с особой тщательностью нужно относиться к организации словарной работы на уроке русского языка и литературы. По большому счету весь урок языка – это работа со словом. Через слово учащиеся узнают и осознают законы языка, убеждаются в его точности, кра ...

Основные системы и формы организационного оформления педагогического процесса
Форлш обучения представляет собой целенаправленную, четко организованную, содержательно насыщенную и методически оснащенную систему познавательного и воспитательного общения, взаимодействия, отношений учителя и учащихся. Результатом такого взаимодействия является профессиональное совершенствование ...

Христианство
Христианство (от греческого слова christos - "помазанник", "Мессия") зародилось как одна из сект иудаизма в I в. н.э. в Палестине. Это изначальное родство с иудаизмом - чрезвычайно важное для понимания корней христианской веры - проявляется и в том, что первая часть Библии, Ветх ...