История развития понятия площади и ее измерения

Зарождение геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряется в глубине тысячелетий.

Еще 4 – 5 тыс. лет назад вавилоняне вычисляли площади земельных участков, имеющих форму прямоугольника и трапеции, в квадратных единицах. Единицей измерения площади издревле использовали квадрат, так как именно квадрат обладает замечательными свойствами: равные стороны, равные и прямые углы; квадрат имеет ось и центр симметрии и совершенство формы. Квадраты легко строить, и ими можно покрыть без просветов фигуры любой формы.

Около 4 000 лет назад египтяне определяли площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции теми же приемами, как и мы. То есть, чтобы определить площадь прямоугольника, умножали длину на ширину; чтобы найти площадь треугольника, основание треугольника делили пополам и умножали на высоту. А для нахождения площади трапеции сумму параллельных сторон делили пополам и умножали на высоту. Площадь многоугольника находили разбиением его на прямоугольники, треугольники и трапеции.

Египтяне использовали и иные, которые позволяли быстрее измерять площадь земельного участка путем только обхода его по границам, но результат измерения получался с некоторой погрешностью. Так, площадь равнобедренного треугольника вычисляли по формуле

S=ab 2,

где а – боковая сторона, b – основание треугольника. Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем ближе к 90о угол α между сторонами а и b.

Так как из современной формулы

S=ab 2 sin α D

нам известно, что при α=90о sin 90о=1, S=ab 2. Египтяне также пользовались для вычисления площади четырехугольника ABCD формулой

S=а+b 2 . c+d 2.

При вычислении площади четырехугольников по этой формуле допускалась ошибка. Она минимальна, когда углы четырехугольника близки к прямым. А в случае прямоугольника результат получается точный, так как из формулы

SABCD= AB+CD . AD+BC при AB=CD и AD=BC

получим

SABCD= 2AB. 2AD = AВ АD.

А в случае параллелограмма эта формула дает ощутимую погрешность.

С С

A D А D

Согласно египетской формуле площади параллелограммов, указанных на рис. 3 и 4, примем равными площадями прямоугольников, построенных на сторонах АD. Заштрихованные площади показывают величину допущенной ошибки в определении площади параллелограмма в двух различных случаях. Если угол СВА параллелограмма по величине далек от прямого, то ошибка может оказаться незначительной.

В математических трудах Евклида, Герона, Брахмагупты и других известно, что по вопросам измерения площадей греки и индусы пошли далеко вперед по сравнению с египтянами и вавилонянами. В своих «Началах» Евклид не применял слово «площадь», так как он под словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией, и под понятием фигуры подразумевал и ее площадь. Евклид результат измерения площади не выражает числом, сравнивает площади различных фигур между собой. Евклид также занимается вопросами превращения одних фигур в равновеликие им фигуры, оперируя при этом не числами, а самими площадями.

С формулой Герона

S= р(р-а)(р-b)(р-с), где р=а+b+с

учащиеся знакомы. А индийский математик Брахмагупта (598 - 660) хотел вывести подобную формулу для вычисления площади четырехугольника. Если обозначим площадь четырехугольника через S, его полупериметр через р, а стороны – через а, b, с и d, то Брахмагупта принимал S= р(р-а)(р-b)(р-с)(р-d), но не доказал.

Формула Брахмагупта верна для прямоугольника, так как только в прямоугольниках р-а=b и р-b=а. Поэтому

Прочее о педагогике:

Экспериментальная работа по внедрению системы социально-педагогической поддержки младших школьников, обучающихся на дому
На базе МОУ Покровской средней общеобразовательной школой №2 с 1999 года существует класс домашнего обучения для детей-инвалидов и детей с ослабленным здоровьем. Уровень готовности ребенка к обучению проверяется при поступлении ребенка в первый класс. В этой работе участвуют психолог, социальный пе ...

Интерполяция данных
Прибегать к интерполяции школьникам приходится редко, поскольку справочные значения, как правило, задаются в условии, но уметь это делать тем не менее надо. Используем интерполяционную формулу Лагранжа. Она достаточно громоздка для вычислений вручную, но с помощью компьютерных средств обработки инф ...

Психологический анализ практического занятия по английскому языку
I. Общие сведения. В начале урока студентам объявлена тема занятия «My School». Была сформулирована цель урока (формирование лексических навыков говорения по данной теме). Школьники к постановке цели не привлекались. Структура урока соответствовала целям и задачам, содержанию занятия, а также общед ...