Пифагорейское учение о числе

треугольные числа (рис 1.4.) - числа, которые могут быть изображены треугольниками;

квадратные числа (рис 1.5.) - числа, которые могут быть изображены квадратами;

и т.д.

В случае фигурных чисел в роли основной порождающей операции выступает применение гномона (последовательно прибавляемые к единице или к другому началу “слои” греки называли гномонами). Общее определение гномона находим у Герона: “вообще гномоном является то, что при прибавлении к чему-нибудь, числу или фигуре оставляет составленное целое подобным тому, что было до прибавления”.

Бытует мнение, что ранние пифагорейцы занимались в арифметике по преимуществу тем, что искали для каждого числа его “истинную форму”, своего рода “портрет”. Дескать, число “три” было для них только треугольным, а число “четыре” только квадратным. Щетников А.И. в своей работе опровергает это мнение. Он пишет о том, что гораздо более осмысленным представляется считать, что пифагорейцы в своей арифметике исходили отнюдь не из отдельных чисел, приискивая им “форму”, а из самих формообразующих принципов как таковых. В центре их интереса находилась живущая в четности и нечетности, треугольности, квадратности, пятиугольности, гетеромекности, кубичности, пирамидальности и других идеях – “фигурностях” ритмичность воспроизводства формы через регулярное наращивание количества. Этот интерес привел пифагорейцев к открытию взаимосвязи отдельных форм: к примеру, они установили, что всякое квадратное число раскладывается в сумму последовательных нечетных чисел, и т.п. тем самым идея квадратного числа, или квадратность, для математиков пифагорейской школы состояла, прежде всего, в том, что в этой квадратности уже были потенциально скрыты и путем различных преобразований формы могли быть выявлены треугольность, гетеромекность, четность, нечетность и другие “фигурности”.

В возникшем понятии “фигурного числа”, нашла свое отражение тесная связь, существующая между понятиями числа и пространственной протяженностью.

Кольман Э. пишет о том, что у пифагорейцев точка, изображавшая единицу, была дальше неделима – она была математическим атомом; сама точка определялась как единица, обладающая положением. Для того чтобы быть отличимыми друг от друга, единицы-точки должны были отделяться пространством, каждая точка должна была иметь вокруг себя “поле”. Благодаря этому каждое число можно было изображать не только при помощи точек, но и квадратных полей, или тех и других, как, например, число 3 в виде (рис. 1.6.):

. . .

Таким образом, в основе здесь лежит понятие числа, которое лишь изображается фигурой: геометрия подчинена арифметики .

Фигурные числа отражали своим видом способ, которым они были арифметически порождены, т.е. были ли они получены путем сложения или умножения.

Прочее о педагогике:

Развитие и виды воображения
Воображение — это процесс преобразования представлений, отражающих реальную действительность, и создание на этой основе новых представлений. Принято считать, что воображение зародилось в процессе труда — специфически человеческой деятельности, из-за существования потребности в преобразовании предме ...

Компьютерные средства обучения
Компьютерное средство обучения (КСО) − это программное средство (программный комплекс) или программно-технический комплекс, предназначенный для решения определённых педагогических задач, имеющий предметное содержание и ориентированный на взаимодействие с обучаемым. КСО является средством, спе ...

Приобщение дошкольников к традиционной культуре
Сделать пребывание ребенка в детском саду эмоционально благополучным, радостным педагогам помогает традиционная народная культура. Старших дошкольников, которым уже доступно освоение духовно-нравственных и эстетических ценностей народной культуры, мы приобщаем к исторической памяти народа, к его ху ...