Содержание и методика обобщающего повторения на примере темы: «Четырехугольники»

Можно не менять привычные учащимся избыточные определения, но обязательно подчеркнуть тот факт, что, чтобы убедиться, что рассматриваемый параллелограмм будет ромбом, достаточно проверить равенство двух смежных сторон, а чтобы убедиться, что он будет прямоугольником, достаточно доказать, что один из его углов прямой.

После этого отмечаем особые свойства диагоналей прямоугольника и ромба и опять ставим вопрос, будут ли эти условия не только необходимыми, но и достаточными, т. е. являются ли эти условия признаками рассматриваемых фигур. Как это проверить? Учащиеся должны сообразить, что для ответа на поставленный вопрос следует сформулировать и доказать теоремы, обратные к теоремам, выражающим свойства диагоналей прямоугольника и ромба.

Запишем одну из этих теорем.

Дано: АВСД - прямоугольник. Доказать: АС=ВД.

Обратное к этой теореме утверждение записывается так:

Дано: в четырёхугольнике АВСД АС=ВД .

Доказать: АВСД — прямоугольник.

Легко убедиться, что это утверждение несправедливо. Приведите примеры, подтверждающие этот факт. Учащиеся могут вспомнить, что диагонали равны у равнобочной трапеции, или начертить произвольный четырехугольник с равными диагоналями. Таким образом, мы убеждаемся, что равенство диагоналей не выделяет прямоугольник из класса четырехугольников (среди четырёхугольников с равными диагоналями есть и не являющиеся прямоугольниками).

Здесь учитель знакомит учащихся с еще одним способом получения утверждений, обратных данному. Замечает, что условие прямой теоремы может быть разбито на две части.

Дано: 1) АВСД — параллелограмм.

2)ÐА=900.

Доказать: АС = ВД.

Если теперь поменять местами заключение и вторую часть условия, то мы получим утверждение:

Дано: АВСД — параллелограмм

АС=ВД.

Это утверждение легко доказать. Докажите самостоятельно.

Если учащиеся затрудняются, то можно "навести" их на мысль, обратив внимание, что ÐА + ÐД = 1800 (АВСД — параллелограмм ). Что осталось теперь доказать? (ÐА=ÐД).

Аналогичную работу проводим с установлением признаков ромба, основанных на свойствах его диагоналей. Вспоминаем теорему о свойствах диагоналей ромба.

Дано: АВСД — ромб.

Доказать: 1) ВД | АС;

2) ÐВАС =ÐСАД.

Для этой теоремы можно составить две обратные:

Теорема 1 Теорема 2

Дано: ВД | АС Дано: ÐВАС = ÐСАД

Доказать: АВСД — ромб. Доказать: АВСД — ромб.

Легко показать, что каждая из этих теорем несправедлива, приведя хотя бы по одному "контрпримеру";

Интересен вопрос. А как можно видоизменить первый чертеж чтобы его можно било использовать одновременно для "опровержения" и теоремы 1 и теоремы 2 (Достаточно взять АО=ОС и тогда ÐAВД=ÐДВС.

Используя второй способ образования обратных теорем, с которым учащиеся ознакомлены при установлении признака прямоугольника.

Имеем:

Прямая теорема: Дано:

Прочее о педагогике:

Повышение уровня обобщённости изучаемых знаний
В настоящее время школьный курс математики далеко отстаёт от математики как науки по уровню обобщённости знаний. Если в современной математике уровень обобщённости очень высок, то в школьном курсе математики он пока ещё весьма низок. Его повышение (в разумных пределах) приведёт к повышению информац ...

Организация исследования по формированию педагогической культуры как основы профессиональной деятельности
Целью нашего исследования является установление уровня педагогических способностей студентов ВУЗа. Исходя из цели исследования были назначены следующие задачи: 1. Установить начальный уровень способности студентов к профессиональной деятельности. 2. Раскрыть связь способностей личности с уровнем пр ...

Из опыта работы: использование метода проектов в школьной практике
Остановлюсь подробнее на конкретных примерах. На старшем этапе обучения учащиеся, безусловно, более осознанно, более творчески подходят к созданию проекта. Но поскольку средний возраст моих учащихся – 9-12 лет, то все темы, предложенные учащимся, учитывали прежде всего их интересы и проблемы. Были ...