Содержание и методика обобщающего повторения на примере темы: «Четырехугольники»

Сообщается, что если (1)Þ(4), то утверждения называются эквивалентными. Аналогично эквивалентны утверждения (2) и (3) [(2)Û(3)].

Словами формулу (1)Þ(4) можно расшифровать так: если из условия А следует (вытекает) условие В, то без в нет и А (из нет в нет А), иными словами В необходимо для А (без В не будет и А).

А далее сообщаем, что необходимое условие дает нам свойство, а если условие не только необходимо, но и достаточно, то получаем признак.

Иными словами, чтобы получить свойство В какого-нибудь объекта А, достаточно доказать теорему АÞВ, а чтобы убедиться, что рассматриваемое свойство В является признаком, следует ещё доказать теорему ВÞА (обратную).

Вместе с учащимися вспоминаем все свойства параллелограмма и составляем таблицу.

Дано: АВСД – параллелограмм

Доказать: 1) АВ || СД

ВС || АД

АВ = СД

ВС = АД

АО = ОС

ВО = ОД

ÐА = ÐС

ÐВ = ÐД

ÐА + ÐВ = 1800

ÐС + ÐВ = 1800

ÐС + ÐД = 1800

ÐА + ÐД = 1800

Обращаем внимание на тот факт, что каждое из условий 1–12 вытекает из того, что АВСД — параллелограмм, следовательно, каждое из них является необходимым условием того, чтобы четырехугольник АВСД был параллелограммом. Легко убедиться, что из каждого из условий 1–12 не следует, что АВСД — параллелограмм (например, если дано, что АВ II СД, что имеем трапецию, ибо ВС || АД).

Таким образом, каждое из условий 1–12, взятое в отдельности, признаком параллелограмма не является. Теперь начнём комбинировать свойства по два (Сколько таких комбинаций будет? Как сосчитать все комбинации, чтобы быть убеждённым, что ни одна не пропущена?). Убеждаемся, что некоторые из комбинаций дают признак параллелограмма. Какие из комбинаций по два дают известные уже вам признаки параллелограмма? [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (5, 6)].

В то же время легко видеть, что не каждая из комбинаций по два дает признак параллелограмма. Например, из того что АВ II СД и ВС = АД следует, что фигура АВСД — равнобочная трапеция, а не параллелограмм.

Естественно встает вопрос, сколько же всего признаков у параллелограмма? Для ответа на этот вопрос нужно перебрать все возможные комбинации и либо доказать полученную теорему, либо привести пример, опровергающий её (контрпример). Ясно, что эта работа на уроке проделана быть не может. Она может быть дана в качестве индивидуальных заданий на дом хорошо успевающим учащимся, или еще лучше, предложена в качестве коллективной работы кружковцам. Здесь встают интересные вопросы о планировании работы, о разделении труда при решении этой проблемы, об организации самоконтроля и взаимоконтроля, о подведении окончательных итoгoв, т.e. вопросы, возникающие при организации любой трудовой деятельности.

Далее аналогичную работу можно провести по выяснению признаков прямоугольника и ромба. Но этой работе должно предшествовать уточнение определений прямоугольника и ромба. Действительно, достаточно потребовать, чтобы у параллелограмма был один прямой угол, т. к. из условия (АВСД — параллелограмм; ÐА=900) следует, что ÐВ=900, ÐС=900, ÐД=900. Для доказательства этого факта достаточно воспользоваться известными свойствами углов параллелограмма.

Аналогично, легко доказать теорему (АВСД — параллелограмм, АВ=ВСÞАВ=ВС=СД=АД), из которой следует, что ромбом называется параллелограмм, у которого две смежные стороны равны.

Прочее о педагогике:

Особенности формирования мотивационной готовности у детей задержкой психического развития старшего дошкольного детства
Первые исследования мотивационно-потребностной сферы детей с ЗПР были в связи с изучением причин школьной неуспеваемости младших школьников и необходимостью выработки психолого-педагогических подходов к ее преодолению (Н.А.Менчинская, И.Ю.Кулагина, Т.Д.Пускаева и др.) Изучалась система побудителей ...

Диагностика сформированности элементарных навыков звукового анализа слова у детей дошкольного возраста
Для определения уровня сформированности навыков звукового анализа слова у детей дошкольного возраста нами была проведена следующая диагностика. Диагностика была проведена на базе МДОУ №9 города Конаково, в группе №4. Детям предлагалось выполнить ряд заданий по семи критериям: 1. Умение делить слова ...

Взаимоотношения преподавателей и студентов. Проблема университетской дисциплины
В начальный период университет напоминал «сообщество» состоящее из магистра и его учеников. Поэтому взаимоотношения студентов и преподавателей играли существенную роль в жизни университета. Для начала надо сказать о том, что после прибытия в университет студент должен был представиться университетс ...