Площадь плоской фигуры и ее измерение

Эти треугольники равны. Площадь каждого из них равна

где - сторона правильного -угольника . Тогда площадь многоугольника равна

но . Следовательно,

Если -произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на треугольники (или другие фигуры, для которых известны правила вычисления площади). В связи с этим возникает вопрос: если один и тот же многоугольник по-разному разбить на части и найти их площади, то будут ли полученные суммы площадей частей многоугольника одинаковыми? Доказано, что условиями, сформулированными в определении площади, площадь всякого многоугольника определена однозначно.

Кроме равенства и равновеликости фигур в геометрии рассматривают отношение равносоставленности. С ним связаны важные свойства фигур.

Многоугольники и называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части.

Например, равносоставлены параллелограмм и прямоугольник (рис.3), так как параллелограмм состоит из фигур и , а прямоугольник – из фигур и , причем .

Нетрудно убедиться в том, что равносоставленные фигуры равновелики.

Венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким любителем математики П.Гервином была доказана теорема: любые два многоугольника равносоставлены. Другими словами, если два многоугольника имеют равные площади, то их всегда можно представить состоящими из попарно равных частей.

Рис. 4

Теорема Бойяни - Гервина служит теоретической базой для решения задач на перекраивание фигур: одну разрезать на части и сложить из нее другую. Оказывается, что если данные фигуры многоугольные и имеют одинаковые площади, то задача непременно разрешима.

Доказательство теоремы Бойяи-Гервина достаточно сложное. Мы докажем только утверждение о том, что всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником, т.е. всякий треугольник можно перекроить в равновеликий ему прямоугольник.

Пусть дан треугольник (рис.4). Проведем в нем высоту и среднюю линию . Построим прямоугольник, одной стороной которого является , а другая лежит на прямой . Так как пары треугольников и , а также и равны, то треугольник и прямоугольник равносоставлены.

Мы выяснили, что вычисление площади многоугольника сводится по существу к вычислению площадей треугольников, на которые можно разбить этот многоугольник. А как находить площадь произвольной плоской фигуры? И что представляет собой число, выражающее эту площадь?

Прочее о педагогике:

Понятие закрепления знаний и его функции
Современный урок можно рассматривать как целостную структурно-функциональную систему, все элементы которой тесно взаимосвязаны, отражают основные положения современной дидактики и направлены на воспитание студентов и формирование их познавательной самостоятельности. Процесс закрепления знаний и уме ...

План-конспект урока английского языка в 6 классе
Тема урока: London and its famous sights. Главная цель урока: обучение иноязычному общению. Основная задача: формирование лексико-грамматических навыков чтения и говорения по теме. Сопутствующие задачи: активизация лексических единиц и грамматических структур (безличные предложения), усвоенных ране ...

Педагогическое мастерство преподавателя ВУЗа
Важнейшим условием совершенствования учебного процесса является повышение педагогического мастерства преподавателя, который был и остаётся стержневым звеном любой педагогической системы. В проблеме формирования мастерства преподавателя необходимо обратить на два момента. С одной стороны, особенност ...