Нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений

2) –– 1 = 0, = - 1 приближенный меньший по абсолютной величине корень.

Способ 4. В уравнении отбираем три последних члена и решаем квадратное уравнение .

Корни уравнения действительны, тогда решаем уравнение и за первое приближение корня берем = .

Левую часть уравнения делим на . Деление проводим по схеме Горнера. Деление проводим до тех пор, пока не останется двучлен вида:, который не делится без остатка на. . Из уравнения находим второе приближение корня = - .Левую часть уравнения делим на по схеме Горнера и получаем остаток в виде и т. д.

Обычно этот процесс приводит к ряду значений,…, приближающихся к искомому корню. После того, как мы остановились на некотором приближении корня и приняли его за искомое значение корня, разделим левую часть уравнения на . Получится многочлен степени на единицу меньшей, чем левая часть данного уравнения. Приравниваем этот многочлен нулю и с полученным новым уравнением поступаем, как было описано выше.

При решении алгебраических уравнений используют также методы последовательных приближений (итерационный метод) и половинного деления отрезка.

Метод последовательных приближений

Для того чтобы использовать метод последовательных приближений, уравнение нужно преобразовать к виду , где y(х)=х, j(х)=f(x). Подставляя последовательно в значения , находим - -е приближение к корню уравнения.

Заметим, что если последовательность х0, х1, х2, …, хn, … сходится, т.е. иметь предел, то этот предел будет корнем уравнения.

Например, решим уравнение х2 – х – 1 = 0

х = 1 + 1/х j(х) = 1 + 1/х.

х0 = 2 первое приближение корня;

х1 = 1,5 второе приближение корня;

х2 = 1третье приближение корня; и т. д.

Половинного деления отрезка

Представим уравнение F(x) = 0 в виде y(х) = j(х);

Построим графики у = y(х) и у = j(х);

Значение х точки пересечения графиков будет являться корнем уравнения.

Выберем отрезок [а, b], содержащий точку пересечения.

Отрезок [a, b] делим на две части точкой z1 = (a+b)/2;

Если F(z1) = 0 то z1 – искомый корень. Если F(z1) ¹ 0, то из двух отрезков [a,z1] и [z1,b] выберем тот, для которого значение функции f(x) на его концах имеет разные знаки, и обозначим его через [a1,b1]. Если теперь взять точку z2=(a1+b1)/2 то снова или F(z2) = 0 или F(z2) ¹ 0 и т.д.

Например,

х2 – х – 1 = 0.

x = 1 + 1/х.

Точка пересечения графиков расположена на отрезке.

Отрезок [1; 2] содержит точку пересечения графиков.

z1 = (1 +2)/2 = 1.5;

Получили два отрезка.

Прочее о педагогике:

Понятие внеклассной и внешкольной воспитательной работы
Деятельность по воспитанию и развитию личности осуществляется разными путями. Важная роль принадлежит таким ее видам, как внеклассная и внешкольная воспитательная работа. Внеклассная воспитательная работа – это организация педагогом различных видов деятельности, обеспечивающей необходимые условия д ...

Формирование логической сферы детей старшего дошкольного возраста
Формирование логических приемов является важным фактором, непосредственно способствующим развитию процесса мышления старшего дошкольника. Практически все психологические исследования, посвященные анализу способов и условий развития мышления ребенка, единодушны в том, что методическое руководство эт ...

Педагогические возможности игры в развитии логического мышления
Теоретические и экспериментальные работы А.С. Выготского, Ф.Н. Леонтьева, С.Л. Рубенштейна свидетельствуют о том, что ни одно из специфических качеств - логического мышления, творческое воображение, осмысленная память - не может развиваться у ребёнка независимо от воспитания, в результате спонтанно ...