Нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений

2) –– 1 = 0, = - 1 приближенный меньший по абсолютной величине корень.

Способ 4. В уравнении отбираем три последних члена и решаем квадратное уравнение .

Корни уравнения действительны, тогда решаем уравнение и за первое приближение корня берем = .

Левую часть уравнения делим на . Деление проводим по схеме Горнера. Деление проводим до тех пор, пока не останется двучлен вида:, который не делится без остатка на. . Из уравнения находим второе приближение корня = - .Левую часть уравнения делим на по схеме Горнера и получаем остаток в виде и т. д.

Обычно этот процесс приводит к ряду значений,…, приближающихся к искомому корню. После того, как мы остановились на некотором приближении корня и приняли его за искомое значение корня, разделим левую часть уравнения на . Получится многочлен степени на единицу меньшей, чем левая часть данного уравнения. Приравниваем этот многочлен нулю и с полученным новым уравнением поступаем, как было описано выше.

При решении алгебраических уравнений используют также методы последовательных приближений (итерационный метод) и половинного деления отрезка.

Метод последовательных приближений

Для того чтобы использовать метод последовательных приближений, уравнение нужно преобразовать к виду , где y(х)=х, j(х)=f(x). Подставляя последовательно в значения , находим - -е приближение к корню уравнения.

Заметим, что если последовательность х0, х1, х2, …, хn, … сходится, т.е. иметь предел, то этот предел будет корнем уравнения.

Например, решим уравнение х2 – х – 1 = 0

х = 1 + 1/х j(х) = 1 + 1/х.

х0 = 2 первое приближение корня;

х1 = 1,5 второе приближение корня;

х2 = 1третье приближение корня; и т. д.

Половинного деления отрезка

Представим уравнение F(x) = 0 в виде y(х) = j(х);

Построим графики у = y(х) и у = j(х);

Значение х точки пересечения графиков будет являться корнем уравнения.

Выберем отрезок [а, b], содержащий точку пересечения.

Отрезок [a, b] делим на две части точкой z1 = (a+b)/2;

Если F(z1) = 0 то z1 – искомый корень. Если F(z1) ¹ 0, то из двух отрезков [a,z1] и [z1,b] выберем тот, для которого значение функции f(x) на его концах имеет разные знаки, и обозначим его через [a1,b1]. Если теперь взять точку z2=(a1+b1)/2 то снова или F(z2) = 0 или F(z2) ¹ 0 и т.д.

Например,

х2 – х – 1 = 0.

x = 1 + 1/х.

Точка пересечения графиков расположена на отрезке.

Отрезок [1; 2] содержит точку пересечения графиков.

z1 = (1 +2)/2 = 1.5;

Получили два отрезка.

Прочее о педагогике:

Диагностирование уровня лексических навыков
Получив в результате теоретического исследования подтверждение нашей гипотезы о том, что, если использовать игровые приёмы при изучении лексики, то повысится уровень её усвоения младшими школьниками, мы провели эксперимент, с целью подтвердить гипотезу на практике и определить эффективность примене ...

А.С. Макаренко. Воспитание в коллективе и в труде
Вопрос о воспитании молодого поколения в духе коллективизма был ведущим, коренным вопросом советской педагогики с первых же дней ее существования. Большая заслуга А.С. Макаренко заключается в том, что он продвинул этот вопрос дальше, указав ряд глубоко обоснованных и успешно проверенных на практике ...

Исследование экспертной оценки взрослых по проблеме психологической адаптации
По материалам психологической диагностики на этапе констатирующего эксперимента при помощи методики исследования анкеты учителя были получены следующие результаты: Учащиеся первых классов имеют разную степень адаптированности к процессу обучения. Основная часть детей, она составляет 55%, попадают в ...