Нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений

2) Погрешности абсолютная, относительная и предельная.

Итак, в сказано, что абсолютная погрешность – модуль разности |х – а|, где а – данное число, которое рассматривается как приближенное значение некоторой величины, точное значение которой равно х.

Под относительной погрешностью будем понимать отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.

В справочнике дается понятие предельной погрешности.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.

3) Погрешности, возникающие в результате арифметических операций над числами.

Отметим погрешности произведения, суммы и разности, частного.

В справочнике сказано, что предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых. При значительном числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей; поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней.

Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Предельная относительная погрешность суммы лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых. Если все слагаемые имеют одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную погрешность. Т.е. точность суммы не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых.

Разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. “Потеря точности” особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

Здесь же в о погрешности произведения сказано: предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей. Правило для двух сомножителей запишется так: d »d1 + d2. Точное же выражение d будет: d = d1 + d2 + d1d2, т. е. предельная относительная погрешность произведения всегда больше, чем сумма предельных относительных погрешностей сомножителей; она превышает эту сумму на произведение относительных погрешностей сомножителей. Это превышение обычно так невелико, что его не приходится учитывать.

Погрешность частного в находится двумя способами:

Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

Пусть делимое и делитель имеют каждое по k значащих цифр. Тогда абсолютная погрешность частного в худшем случае близка к 1,05 единицы (k – 1) – го знака (этого значения она никогда не достигает).

Границы абсолютной и относительной погрешностей. В работе [15, с.13-14] даны следующие определения:

Граница абсолютной погрешности – это число D(а) такое, что |х - а|£D(а).

Граница относительной погрешности – это число d(а) такое, что |(х – а)/а|£d(а).

Высшая и низшая границы точного значения.

Высшая граница х: (ВГ х): g = а + Dа.

Низшая граница х: (НГ х): p = а - Dа.

При нахождении значения с заданной точностью, при нахождении погрешности, связанной с арифметическими операциями над числами важны понятия верных и значащих цифр. В представлено следующее определение верных цифр: верными называют цифры, если представленный ими результат имеет погрешность не более ½ младшего разряда. В справочнике значащими называют все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа. Верные и значащие цифры обозначают разное. Приведем пример. Так, если х = 20,024 и это значение имеет три верных цифры, то можно считать, что 19,95 < х < 20,05.

Большинство этих понятий встречается и в школьной программе.

2. Анализ содержания школьных учебников

Чтобы определить роль темы “Приближенные вычисления” в школьной программе было проанализировано по три учебника для 5 и 8 классов, а также просмотрены учебники для других классов, чтобы найти применение приближенных вычислений. Применение было обнаружено в учебнике для 11 класса.

Прочее о педагогике:

Средства и методы развития силовых способностей у детей младшего школьного возрасту
В практике физического воспитания школьников используют два основных пути развития силовых способностей. Первый путь сводится к попутному стимулированию способностей, проявляющихся в процессе формирования новых двигательных умений и навыков, а также при дальнейшем варьировании и совершенствовании и ...

Монологическая речь как активный и произвольный вид устной речи
Заметим, что монологическим высказыванием (MB) мы будем называть такой отрезок речи, который находится между двумя соседними высказываниями и обладает определенными параметрами. Это означает, что MB рассматривается как компонент процесс" общения любого уровня — парного, группового, массового. ...

Задачи и содержание воспитания патриотизма и культуры межнациональных отношений
Гражданско-патриотическое воспитание в современных условиях – это целенаправленный, нравственно обусловленный процесс подготовки подрастающего поколения к функционированию и взаимодействию в условиях демократического общества, к инициативному труду, участию в управлении социально ценными делами, к ...