Нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений

В настоящем пункте перечислим понятия теории приближенных вычислений, с которыми знакомятся школьники с 1 по 11 класс.

Приближение. В справочной литературе можно встретить несколько формулировок.

Так, в энциклопедиях и рассматривается более широкое понятие – апроксимация – замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Апроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).

В энциклопедии также рассматривается приближение с недостатком и с избытком.

В энциклопедии приближение рассматривается как замена числа, а мало отличающимся от него числом а* - его приближением.

Обобщив имеющиеся формулировки, будем понимать приближение как замену одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.

Если приближенное значение меньше точного, то это приближенное значение по недостатку, если больше – то по избытку. Термин “приближение” будем использовать в смысле приближенного значения величины.

Округление. Округление числа будем понимать как приближенное представление числа в десятичной (или иной, например двоичной) системе счисления с помощью конечного числа разрядов. Такое определение представлено в энциклопедии. Здесь же сказано о приближении с округлением, но четкой формулировки нет. В методической литературе определение термина “округления” не предлагается, этот термин объясняется через правила округления. В литературе встречаются три вида правил:

формальный алгоритм округления;

правила округления целых чисел и десятичных дробей;

правило четной цифры.

В приложении 2 к данной работе приведены формулировки правил.

Разные формулировки правил означают одно и то же. В учебниках используется, главным образом, формальный алгоритм округления.

Погрешность. В справочной литературе рассматриваются разные погрешности. Для определения погрешности важно знать об источниках ее возникновения. В источнике выделены следующие причины возникновения погрешностей при решении задач:

математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания;

применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

при выполнении арифметических операций производятся округления.

Разработана типология погрешностей в соответствии с причинами, т. е. выделяют три типа погрешности.

Типы погрешности, соответствующие этим причинам:

неустранимая погрешность - это погрешность, являющаяся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

погрешность математической модели - это погрешность, являющаяся следствием несоответствия математического описания задачи реальности;

погрешность метода;

вычислительная погрешность.

Введем формальные определения.

Пусть

I – точное значение отыскиваемого параметра,

I* - значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию,

I*h – решение задачи, получаемое при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений,

I*h* - приближение к решению задачи, получаемое при реальных вычислениях.

Тогда

r1=I* - I неустранимая погрешность,

r2=I*h – I* погрешность метода,

r3=I*h* - I*h вычислительная погрешность,

r0=I*h* - I полная погрешность.

Полная погрешность удовлетворяет равенству r0 = r1 + r2 + r3.

Во многих случаях под термином погрешность того или иного вида понимают не рассмотренные выше разности между приближениями, а некоторые меры близости между ними. Например:

r0=|I*h* - I|

r1=|I* - I|

r2=|I*h – I*|

r3=|I*h* - I*h|

При таких обозначениях получаем r0 £ r1 + r2 + r3.

Выделим следующие группы погрешностей:

1) Погрешность измерения и погрешность приближения.

В некоторых источниках под погрешностью измерения понимают разность х – а, где х – истинное значение измеряемой величины, а – результат измерения. Под погрешностью приближения понимают разность между числом х и его приближенными значениями. Например, приближенные значения числа P.

Прочее о педагогике:

Лексические умения, навыки и механизмы чтения
Под лексическими механизмами чтения понимается система действий и операций, обеспечивающая прием и переработку лексической информации текста. Первичным лексическим механизмом является механизм узнавания слов и морфем, который актуализуется на основе сличения эталонных графикозвукомоторных образов с ...

Трудности обучения лексики
Для повышения эффективности обучения лексике необходим дифференцированный подход к отбору словарного материала, его презентации и закреплению. Такой подход осуществляется на базе методической типологии (т.е. распределение языковых единиц по типам с точки зрения сложности их изучения), предусматрива ...

Логико-математические игры как средство активизации обучения математике
Интерес к математике у старших дошкольников поддерживается занимательностью самих задач, вопросов, заданий. Говоря о занимательности, мы имеем в виду не развлечение детей пустыми забавами, а занимательность содержания математических заданий. Педагогически оправданная занимательность имеет целью при ...