Нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений

Для отрезка значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

12 - 1 - 1 = -1;

1.52 – 1.5 – 1 = -0.25;

22 – 2 – 1 = 1;

2) z2 = (1.5 + 2)/2 = 1.75;

Получили два отрезка.

Для отрезка значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.52 – 1.5 – 1 = -0.25;

1.752 – 1.75 – 1 = 0.3125;

22 – 2 – 1 = 1.

Таким образом, корень расположен на промежутке. Продолжая процесс можно найти корень с некоторой заданной степенью точности.

Нахождение корней трансцендентных уравнений

При решении трансцендентных уравнений необходимо уравнение F(х) = 0 представить в виде j(х) = y(х). После используют два способа приближенного решения уравнений:

Графическое решение.

Строят графики кривых у = j(х) и у = y(х); абсциссы точек пересечения кривых будут искомыми корнями данного уравнения. Далее пользуются методами для нахождения корней алгебраических уравнений.

2) Итерационный метод.

Пусть х = j(х) и y(х) = j(х).

а) графически или методом проб находят первое приближение корня

х = х0, х0 = первое приближение корня.

б) в правую часть уравнения х = j(х) подставим х0 и тогда х1 = j(х).

х1 - второе приближение корня.

в) подставляем в правую часть уравнения х = j(х) значение х1 вместо

х, х2 = j(х1), х2 – третье приближение корня.

г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:

х1 = j(х0);

х2 = j(х1);

х3 = j(х2);

х4 = j(х3) и т.д.

Важно отметить, что трансцендентное число можно представить при помощи числового ряда. Так, например в энциклопедии [29], сумма ряда 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 - … равна Õ/4; сумма ряда 1/12 +1/22 + 1/32 + ¼2 + … равна Õ2/6. Эти суммы дают возможность приближенно вычислить число Õ с любой, наперед заданной, степенью точности (если взять достаточно много членов ряда). Точность будем определять, пользуясь понятиями верных и значащих цифр.

3. Приближенные формулы

Существует еще один раздел, тесно связанный с приближенными вычислениями - приближенные формулы. В энциклопедии приближенная формула определяется как “формула f(х)»f*(х), получаемая из формулы вида f(х) = f*(х) + e(х), где e(х) рассматривается как погрешность и после оценки отбрасывается”. Приближенные формулы позволяют при вычислении с приближенными числами быстро найти приближенный ответ. Приведем несколько наиболее употребительных приближенных формул, причем отметим, при каких ограничениях на |х| формула будет давать k точных десятичных знаков.

В приложении 1 к данной дипломной работе представлены графики функций, позволяющие увидеть, насколько близки друг к другу точные и приближенные корни уравнений.

В учебнике Башмакова М. И. представлены формулы для приближенных вычислений значений функции

f(x) – y0 » f/(x0)Dx; y » y0 + dy; у » у0 + f/(x0)(x – x0).

Применяя вышеперечисленные формулы можно построить несколько приближенных формул.

- Дана степенная функция у = хn. Зафиксируем точку х0 и применим формулу: (х0 + Dх)n » х0n + nx0n-1Dх.

- Дана функция у = .

Получаем приближенную формулу: » - .

4. Приближение функции

В БЭС приближение функций определяется как “нахождение для данной функции f функции g из некоторого определенного класса, в том или ином смысле близкой к f, дающей ее приближенное представление”. Задача о приближении функции – это задача о замене одних функций другими функциями. Эта задача постоянно возникает как в математике, так и в ее приложениях, т. к. существуют теоретические и прикладные потребности в ее решении.

Теоретические:

приближение функций является одним из мощных средств исследования свойств самих функций. Существует раздел комплексного анализа – приближение функций комплексного переменного – изучающий вопросы приближенного представления функций комплексного переменного посредством аналитических функций специальных классов. В БЭС отмечено, что теория приближений тесно связана с другими разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями). Многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.

Прочее о педагогике:

Психологическое воспитание подростков
Почти все исследования генетической психологии сосредоточены на детстве и юности – периоде формирования личности. От того, как меняется личность и ее самосознание после наступления половой и социальной зрелости, известно очень мало. Но детские и юношеские переживания можно правильно оценить только ...

Познавательный интерес как педагогическая проблема
Проблема интереса в обучении существовала на протяжении всего исторического процесса развития педагогической мысли. Так, средневековая педагогика вслед за философией своего времени провозглашала идеи аскетизма, отказа от земных радостей – считала проявления интереса греховным началом в человеке. Об ...

Понятие детской литературы и ее жанров
В связи с тем, что нами определена тема работы « Формирование временных представлений детей дошкольного возраста на примере использования детской литературы», выше уже были раскрыты понятие времени, особенности его восприятия детьми дошкольного возраста. Далее остановимся на понятии детской литерат ...