Нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений

Прикладные:

появляется потребность заменять сложные функции более простыми; такая задача возникает, например, когда необходимо вычислять значения функции.

требуется заменить данную функцию приближающей функцией, принадлежащей заданному семейству функций, определяемому физическими условиями задачи.

закон изменения исследуемой функции известен лишь с некоторой погрешностью, то на основании этих сведений можно определить функцию только приближенно; таково происхождение так называемых эмпирических формул непосредственно связанных с обработкой результатов наблюдений.

В энциклопедии описаны шаги, на которые распадается фактическое решение каждой задачи о приближении функций.

Выбор средства приближения, т. е. выбор того семейства функций, с помощью которого будет осуществляться приближение заданной функции. Заметим, что классическим средством приближения функций являются алгебраические многочлены фиксированной степени n, рациональные дроби , где многочлены соответственно степеней n и m, тригонометрические полиномы заданного порядка n. Вообще в качестве средств приближения обычно выбирают полиномы вида , где -заданные функции.

Выбор способа измерения уклонения от заданной функции до приближающей функции, т. е. выбор способа судить о том, когда приближающая функция близка к заданной. Способ измерения уклонения определяется заданием меры уклонения приближающей функции от данной , то есть числом, которое характеризует это уклонение. Выделяют следующие меры уклонения:

Если важно, чтобы приближающая функция на целом отрезке [a, b] равномерно мало отличалась от заданной функции:

Если важно, чтобы приближающая функция лишь в среднем мало отличалась от заданной, и допустимо, чтобы существовали весьма короткие отрезки, на которых отклонение достигает значительной величины:

Если важны не сами значения функции , а требуется узнать приближенную величину интеграла от этой функции:

Выбор метода приближения, т. е. выбор такого правила, согласно которому из семейства приближающих функций выделяется одна приближающая функция. Заметим, что выделяют следующие методы:

Интерполирование;

Наилучшие методы приближения;

Суммы Фурье;

Частичные суммы рядов.

Фактическое построение этой приближающей функции. (Трудность построения приближающей функции зависит от выбранного метода приближения).

Оценка погрешности, возникающей от замены заданной функции приближающей ее функцией. (Алгебраические многочлены на любом конечном отрезке [a, b] и система тригонометрических функций относительно всех непрерывных периодических функций обладают свойством: погрешность приближения можно сделать сколь угодно малой, выбрав число параметров, от которых зависит семейство приближающих функций, достаточно большим).

Таким образом, важно развитие аппарата приближенных вычислений для прикладных и теоретических задач математики. В работе было выделено четыре направления, в которых не обойтись без приближенных вычислений. Из этих направлений для школьников недоступно приближение функции, так как здесь используется много новых понятий. Однако, приближенное решение уравнений для школьников вполне доступно, этот теоретический материал связан со школьной программой.

2. Тема “Приближенные вычисления” в школьной математике

1. Понятия, связанные с приближенными вычислениями

Прочее о педагогике:

Принципы отбора лексического материала
Содержание обучения лексической стороне речи предусматривает владение лексическим минимумом, обеспечивающим возможность общения в бытовой и социально-культурной сферах. Сущность отбора лексики, производимого в учебных целях, состоит в том, чтобы из множества слов, устойчивых словосочетаний и речевы ...

Образовательная, воспитательная и развивающая функции обучения
Необходимость комплексной реализации всех компонентов содержания образования и направленность педагогического процесса на всестороннее, творческое саморазвитие личности школьника обусловливают функции обучения: образовательную, воспитательную и развивающую. Основной смысл образовательной функции со ...

Разработка элективного курса
Программа элективного курса для девочек 9-го класса: "Ручная вышивка" Пояснительная записка: Ручная художественная вышивка - яркое явление национальной культуры, изучение и приобщение к которой обогащает, доставляет радость. Организация обучения и знакомства школьников с разнообразием вид ...